初等數(shù)論（2013）自學(xué)考試大綱

　　一、 性質(zhì)與學(xué)習(xí)目的

　　《初等數(shù)論》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課。初等數(shù)論是主要用算術(shù)方法研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)論分支，它是數(shù)學(xué)中更古老的分支之一。它在很多數(shù)學(xué)分支以及科學(xué)領(lǐng)域如：計算數(shù)學(xué)、運籌學(xué)、編碼學(xué)、計算機科學(xué)、通訊技術(shù)、試驗設(shè)計、物理學(xué)、生物學(xué)等等都有重要應(yīng)用。初等數(shù)論也是與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系更緊密的課程之一。

　　通過本課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生掌握為進一步提高專業(yè)知識水平所必需的數(shù)論基本理論和基本方法，為一些后繼課程《高等代數(shù)》、《近世代數(shù)》打下良好的基礎(chǔ)，并培養(yǎng)學(xué)生良好的運算和邏輯思維能力。

　　二、課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

　　初等數(shù)論也稱為整數(shù)論，主要研究整數(shù)的性質(zhì)和方程的整數(shù)解，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個重要分支。本課程主要介紹初等數(shù)論的一些基本概念和基礎(chǔ)知識，如整數(shù)的可除性理論、同余理論、同余方程、不定方程等。

　　通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)了解《初等數(shù)論》這門課程的性質(zhì)、地位、研究對象、內(nèi)容、研究方法、知識架構(gòu)、學(xué)科進展、未來發(fā)展方向及數(shù)論在科學(xué)技術(shù)中的一些應(yīng)用。理解這門課程的基本概念、基本性質(zhì)，掌握這門課程中處理問題的一些基本方法和計算與證明的一些基本技巧。

　　（一）  整數(shù)的可除性

　　1、課程內(nèi)容

　　（1） 整除的概念與性質(zhì)、帶余數(shù)除法；

　　（2） 更大公因數(shù)與更小公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法；

　　（3） 質(zhì)數(shù)、算術(shù)基本定理；

　　（4） 函數(shù) 及其在數(shù)論中的一個應(yīng)用（求 （ 較小）的標(biāo)準(zhǔn)分解式）。

　　2、課程難點

　　函數(shù) 的概念及其應(yīng)用。

　　3、考核要求

　　（1）識記并理解整除、更大公因數(shù)、更小公倍數(shù)、互質(zhì)、兩兩互質(zhì)、質(zhì)數(shù)的概

　　念和性質(zhì)，理解帶余數(shù)除法和算術(shù)基本定理的意義及作用。

　　（2）掌握并能應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法求更大公因數(shù)、更小公倍數(shù)，理解 Eratosthenes篩法造素數(shù)表的原理。

　　（3）理解并掌握函數(shù) ， 的概念和基本性質(zhì)，會判斷一個正整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)；會解含[x]及{x}的方程；會求 （ 較小）的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

　　4、考核目標(biāo)

　　理解并掌握整除的概念和性質(zhì)，以及與整數(shù)的整除性理論相關(guān)的基本概念和基本方法。

　　（二）不定方程

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）二元一次不定方程；

　　（2）多元一次不定方程；

　　（3）勾股數(shù)；

　　（4）費馬問題簡介。

　　2、課程難點

　　二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的結(jié)構(gòu)。

　　3、考核要求

　　（1）識記并理解不定方程的基本概念；

　　（2）熟練掌握二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的結(jié)構(gòu)，掌握二元一次不定方程與多元一次不定方程解的關(guān)系，會解三元一次不定方程和簡單的高次不定方程，會應(yīng)用不定方程解某些實際問題。

　　（3）識記費馬大定理及其證明過程產(chǎn)生的意義，無窮下降法的基本思想和基本方法。

　　4、考核目標(biāo)

　　掌握二元一次不定方程有整數(shù)解的條件及其解法，以及一些其它類型的不定方程的解法或解的結(jié)構(gòu)。

　　（三）  同余與同余式

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）同余與同余式的概念及其基本性質(zhì)；

　　（2）剩余類及完全剩余系；簡化剩余系與歐拉函數(shù)；

　　（3）歐拉定理、費爾馬定理及其對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用；

　　（4）一次同余式與孫子定理；

　　（5）高次同余式與質(zhì)數(shù)模的同余式。

　　2、課程難點

　　孫子定理及其應(yīng)用。

　　3、考核要求

　　（1） 識記并掌握同余、同余式的基本概念及其基本性質(zhì)；

　　（2） 熟練掌握剩余類、完全剩余系、簡化剩余系和歐拉函數(shù)的概念及其性質(zhì)；

　　（3） 熟練掌握歐拉定理、費馬定理，并會運用定理進一步討論循環(huán)小數(shù)的性質(zhì)和證明某些同余問題；

　　（4） 熟練掌握一次同余式的解法和孫子定理，會應(yīng)用孫子定理求解簡單同余式組。掌握高次同余式、質(zhì)數(shù)模的同余式解的定理及其聯(lián)系，同余式的次數(shù)與解的個數(shù)之間的關(guān)系， 次同余式有 個解的條件。會解一些簡單的高次同余式。

　　4、考核目標(biāo)

　　理解并掌握與同余、同余式相關(guān)的基本概念，基本性質(zhì)以及相關(guān)的理論、某些同余式、同余式組的一些基本解法。

　　（四）二次同余式與平方剩余

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）二次同余式的概念及其化簡；

　　（2）平方剩余與平方非剩余的概念及其性質(zhì)；

　　（3）勒讓得符號、雅可比符號的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用；

　　（4）二次同余式有解的判別條件及其解法。

　　2、課程難點

　　二次同余式有解的判別條件及其解法。

　　3、考核要求

　　（1）理解一般二次同余式的化簡過程；

　　（2）識記并理解平方剩余、平方非剩余的概念及其相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握奇質(zhì)數(shù) 的平方剩余和平方非剩余的歐拉判別條件，會求模 的平方（非）剩余；

　　（3）正確理解勒讓德符號和雅可比符號的概念、區(qū)別和聯(lián)系，會應(yīng)用二次反轉(zhuǎn)律等性質(zhì)求平方（非）剩余；

　　（4）掌握合數(shù)模二次同余式有解的條件和解的個數(shù)定理，會求合數(shù)模的二次同余式；

　　（5）識記二次反轉(zhuǎn)律的證明過程。

　　4、考核目標(biāo)

　　理解一般二次同余式的化簡過程，掌握二次同余式有解的條件、求解方法以及相關(guān)的知識。

　　三、有關(guān)說明和實施要求

　　1、考生應(yīng)理解并掌握初等數(shù)論中各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；學(xué)會初等數(shù)論中一些常用的基本方法；應(yīng)具有一定的運算能力、邏輯推理能力；能運用所學(xué)基本概念、基本理論和基本方法準(zhǔn)確地進行計算和推理證明；能綜合運用所學(xué)知識解決一些簡單的實際問題。考試從三個層次上對考生進行測試，較高層次的要求為“會應(yīng)用”，其次是“掌握”和“理解”，較低層次的要求為“識記”。其含義：識記，指學(xué)生對所學(xué)概念、定理能夠完整表述，對定理的使用范圍清楚等；理解，指學(xué)生對所學(xué)知識有較深入的認(rèn)識，并能在有關(guān)問題中認(rèn)識或再現(xiàn)它們；掌握，指學(xué)生能深刻認(rèn)識所學(xué)知識，并在此基礎(chǔ)上能夠正確使用它們；會應(yīng)用，指學(xué)生能準(zhǔn)確熟練地應(yīng)用這些知識要求推理證明及解決相關(guān)問題。

　　2、  考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

　　考試采用閉卷、筆試形式，考試時間為150分鐘，全卷滿分為100分。

　　試卷包括單項選擇題、填空題、計算題和證明題。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出過程；計算題和證明題均應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程。命題的原則：題目數(shù)量多、范圍廣，基礎(chǔ)知識一般要占50%左右，稍難的題目要占35%左右，較難的題目占15%左右。

　　3、自學(xué)方法指導(dǎo)：本課程的技巧性強，計算量大。這就要求自學(xué)者全面把握基本理論和基本概念，通過大量的例題、習(xí)題，切實掌握初等數(shù)論的基本概念和基本知識，基本方法和技巧。

　　4、對助學(xué)的要求： 第一、社會助學(xué)者應(yīng)根據(jù)大綱規(guī)定的考試內(nèi)容和考核目標(biāo)，認(rèn)真鉆研指定教材，明確本課程與其它課程的不同特點和學(xué)習(xí)要求，對自學(xué)應(yīng)考者進行切實有效的輔導(dǎo)，引導(dǎo)他們防止自學(xué)中的各種偏向，把握社會助學(xué)的正確方向；第二、要正確處理基本知識和應(yīng)用能力的關(guān)系，努力引導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者將識記、理解、掌握、會應(yīng)用聯(lián)系起來，把基本知識轉(zhuǎn)化為解決問題的能力，在輔導(dǎo)的基礎(chǔ)上，幫助自學(xué)應(yīng)考者建立用系統(tǒng)的觀點進行分析問題和解決問題的能力；第三、要正確處理重點和一般的關(guān)系。課程內(nèi)容有重點和一般之分，但考試內(nèi)容是全面的，而且重點與一般是相互影響的，不是截然分開的。社會助學(xué)者應(yīng)指導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者全面系統(tǒng)地學(xué)習(xí)教材內(nèi)容，掌握全部考試內(nèi)容和考核知識點，在此基礎(chǔ)上再突出重點。總之，要把重點學(xué)習(xí)同兼顧一般結(jié)合起來，切勿孤立地抓重點，把自學(xué)應(yīng)考者引向猜題、模擬題。

河北省《初等數(shù)論》課程自學(xué)考試模擬試卷

　　一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個備選項中，選出一個正確的答案，并將所選項前的字母填寫在答題紙的相應(yīng)位置上，填寫在其它位置上無效）

　　1、下列四個數(shù)中（  ）是質(zhì)數(shù)。

　　（A）  677；（B）678；（C）6721；（D）1904

　　2、下列結(jié)論正確的是（  ）

　　（A） ； （B） ；

　　（C） ； （D）若x不是整數(shù)，則

　　3、已知兩個正整數(shù)的更大公因數(shù)是7，更小公倍數(shù)是105，則這兩個數(shù)是（  ）

　　（A）7，105；  （B）21，35；  （C）17，35；  （D）7，105或21，35

　　4、30！的末尾有（  ）個0.

　　（A）  6； （B）7；  （C）8；  （D）9

　　5、今天是星期一，問再過 天是星期幾（ ）

　　A  星期二B  星期三  C星期四  D星期五

　　6、模5的絕對更小完全剩余系（  ）

　　A  0，1，2，3，4B  1，2，3，4，5  C  -1，-2，-3，-4，-5  D  -2，-1，0，1，2

　　7、歐拉函數(shù) =（）

　　A  6 B  12C  4 D  3

　　8、一次同余式 不整除 有解的充分必要條件是（）

　　A.  B. C. D.

　　9、下列同余式中，無解的是 （　　）

　　A.          B.

　　C.          D.

　　10、 其中 是一個質(zhì)數(shù)，而 不整除 ，則此同余式的解數(shù)不超過　（　　）

　　A. 　　　B. 　　C. 　　　D.

　　二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。）

　　1、 a是兩位數(shù)，a除310余數(shù)為37，則a=.

　　2、若n是正整數(shù)，且 ，且 ，

　　則這樣的n有  個。

　　3、已知三個質(zhì)數(shù)之積恰好等于它們和的7倍，則這三個質(zhì)數(shù)是.

　　4、 （mod 5）

　　5、若 ， 是兩個互質(zhì)的正整數(shù)，則 = .

　　6、假設(shè) 是質(zhì)數(shù)，并且 ，當(dāng) 是奇數(shù)時，.

　　7、一次同余式 不整除 有兩個解的充分必要條件是

　　8、若 ， 除 所得余式的一切系數(shù)都是 的倍數(shù)，則同余式 有  個解。

　　9、設(shè) 是一個單質(zhì)數(shù)，當(dāng) 時， =

　　10、當(dāng) ， 時，同余式 有 解。

　　三、計算題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）

　　1、甲、乙、丙三人到李老師那里學(xué)鋼琴，甲每6天去一次，乙每8天去一次，

　　丙每9天去一次，如果甲、乙、丙三人8月17日在李老師處見面，那么

　　他們?nèi)讼乱淮卧诶罾蠋熖幰娒娴臅r間是幾月幾日？請計算出來。

　　2、求 的一切整數(shù)解。

　　3、求歐拉函數(shù) 的值。

　　4、解同余式 .

　　5、解同余式組

　　6、解同余式組

　　7、判斷同余式 是否有解， 其中71是質(zhì)數(shù)。

　　8、解 .

　　四、證明題（本大題共3個小題，第1、2小題每小題6分，第3小題8分，共20分）

　　1、求證：對任何大于1的自然數(shù)n， 是合數(shù)。

　　2、假如 是任意二個不同的質(zhì)數(shù)，證明 .

　　3、若 是使 成立的更小正整數(shù)，且 　　　　　　　　　　特別地

河北省《初等數(shù)論》課程自學(xué)考試模擬試卷參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)

　　一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。）

　　1、A2、D  3、D  4、B  5、D  6、D  7、C  8、A  9、C  10、D

　　二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。）

　　1、39或91 ；  2、 16 ；  3、3，5，7 ；  4、4； 5、 ；

　　6、0 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、4

　　三、計算題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）

　　1、甲、乙、丙三人到李老師那里學(xué)鋼琴，甲每6天去一次，乙每8天去一次，

　　丙每9天去一次，如果甲、乙、丙三人8月17日在李老師處見面，那么

　　他們?nèi)讼乱淮卧诶罾蠋熖幰娒娴臅r間是幾月幾日？請計算出來。

　　解：∵[6，8，9] = 72，（2分）

　　∴ 8月17日他們?nèi)艘娒婧螅龠^72天再見面，

　　∴在李老師處再見面的時間是10月28日。（5分）

　　2、求 的一切整數(shù)解。

　　解： 的一個特解（2分）

　　故原方程的一切整數(shù)解為：

　　或（5分）

　　3、求歐拉函數(shù) 的值。

　　解：  .  （5分）

　　4、解同余式 .

　　解： 同余式有解。將同余式約去公因數(shù)3得，

　　。（2分）

　　， ，即

　　，

　　所以 為所求。 （5分）

　　5、解同余式組

　　解： 它們兩兩互素。 由此，（2分）

　　解 ，即 得 .再分別解 得 由孫子定理知解為 （5分）

　　6、解同余式組

　　解： 第一個同余方程有解且解數(shù)為2， 解之得： . 因此， 原同余方程組的解就是以下兩個同余方程組的解：

　　和 . （2分）

　　前一個同余方程組的解是 ，后一個同余方程組的解為 ，所以，原同余方程組的解數(shù)為2，其解為 .（5分）

　　7、判斷同余式 是否有解， 其中71是質(zhì)數(shù)。

　　解：已知 為質(zhì)數(shù)， . ，（2分）

　　。 ，即原同余式無解。（5分）

　　8、解 .

　　解： 因為 ，故所給同余式有四個解。把 寫成 ，代入所給同余式得 ，從而得 ，故 是適合 的一切整數(shù)。 （2分）

　　再代入同余式得 ，由此得 ，故

　　是適合 的一切整數(shù)，仿前由 得 ，故 是適合 的一切整數(shù)，因此所求的四個解為

　　即 .（5分）

　　四、證明題（本大題共3個小題，第1、2小題每小題6分，第3小題8分，共20分）

　　1、求證：對任何大于1的自然數(shù)n， 是合數(shù)。

　　證明：∵

　　（3分）

　　∵

　　∴

　　∴ 是合數(shù) .（6分）

　　2、假如 是任意二個不同的質(zhì)數(shù)，證明 .

　　證明： 因為 ， 由歐拉定理 ， 又 ， 故 .（3分）

　　同理 ， 由 ， 故 .

　　（6分）

　　3、若 是使 成立的更小正整數(shù)，且 　特別地，

　　證明；若d不整除n ，設(shè)n=dq+r ，0<r<d ，則

　　與d的更小性矛盾，故d|n .  （4分）

　　又因為 故（a ，m）=1，由Euler定理 　故

　　（8分）

河北省教育考試院