偏微分方程（2015）自學(xué)考試大綱

　　一、課程性質(zhì)與學(xué)習(xí)目的

　　《常微分方程》是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的更為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠蹋缗ｎD運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲跌趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。

　　《常微分方程》是為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的基礎(chǔ)必修課。常微分方程是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的重要橋梁之一。

　　學(xué)習(xí)《常微分方程》的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等知識(shí)，來(lái)解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干更重要也是更基本的微分方程問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過(guò)這門(mén)課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問(wèn)題，為他們將來(lái)從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。

　　學(xué)習(xí)《常微分方程》以《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《解析幾何》為基礎(chǔ)，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)理論，如《數(shù)理方程》、《微分幾何》、《泛函分析》等后續(xù)課程做準(zhǔn)備。學(xué)習(xí)《常微分方程》以〈數(shù)學(xué)分析〉和〈高等代數(shù)〉為基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)其他課程，如微分方程理論、數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程作準(zhǔn)備。

　　二、課程內(nèi)容及考核目標(biāo)

　　（一）基本概念

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）微分方程 常微分方程 偏微分方程和微分方程組

　　（2）線性與非線性方程

　　（3）解和隱式解

　　（4）通解和特解

　　（5）積分曲線和方向場(chǎng)

　　2、課程難點(diǎn)

　　通解和特解 積分曲線和方向場(chǎng)

　　3、考核要求

　　（1）識(shí)記：微分方程 常微分方程 偏微分方程與方程組 線性與非線性方程 解和隱式解 通解與特解 積分曲線與方向場(chǎng)等概念。

　　（2）理解：通解，積分曲線與方向場(chǎng)等概念的含義。

　　（3）應(yīng)用：根據(jù)常微分方程的物理背景及建立方法，能從一些簡(jiǎn)單物理現(xiàn)象中抽象出微分方程數(shù)學(xué)模型。

　　4、考核目標(biāo)

　　了解常微分方程中的基本概念，為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備；掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方法，能建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的常微分方程模型。

　　（二）一階微分方程的初等解法

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）變量分離方程與變量變換

　　（2）線性方程與常數(shù)變易法

　　（3）恰當(dāng)方程與積分因子

　　（4）一階隱方程與參數(shù)表示

　　2、課程難點(diǎn)

　　一階隱方程的求解

　　3、考核要求

　　（1）識(shí)記：各種方程的定義，恰當(dāng)方程判定的充要條件，特殊積分因子存在的條件。

　　（2）掌握：變量分離方程的求解方法，一階線性非齊次方程的常數(shù)變易法，恰當(dāng)方程的解法，特殊積分因子的求法以及可解出x和y的一階隱方程的解法。

　　（3）應(yīng)用：能夠運(yùn)用變量變換解方程。

　　4、考核目標(biāo)

　　掌握課程內(nèi)容中所列各種方程的解法，并從中體會(huì)其數(shù)學(xué)思想。

　　（三）一階微分方程的解的存在唯一性定理

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）解的存在唯一性定理與逐步逼近法

　　（2）解的延拓

　　（3）解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理

　　（4）奇解

　　2、課程難點(diǎn)

　　解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理

　　3、考核要求

　　（1）識(shí)記：解的存在唯一性定理、解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理以及解對(duì)初值的可微性定理的條件、結(jié)論，奇解的定義。

　　（2）了解：解的延拓定理及方法、奇解的求法。

　　（3）理解：解的存在唯一性定理、解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理的意義。

　　（4）掌握：逐步逼近法的思想、近似解的求法。

　　（5）應(yīng)用：運(yùn)用解的存在唯一性定理解決相關(guān)問(wèn)題。

　　4、考核目標(biāo)

　　掌握證明存在唯一性定理的逐步逼近法，會(huì)用其數(shù)學(xué)方法解決相關(guān)問(wèn)題；通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)理解定性研究方程的基本思想。

　　（四）高階微分方程

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）線性微分方程的一般理論

　　（2）常系數(shù)線性微分方程的解法

　　（3）高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法

　　2、課程難點(diǎn)

　　線性微分方程的一般理論

　　3、考核要求

　　（1）識(shí)記并理解：線性方程解的性質(zhì)及通解的結(jié)構(gòu)。

　　（2）了解：冪級(jí)數(shù)解法。

　　（3）掌握：常系數(shù)齊線性方程求解的歐拉待定指數(shù)函數(shù)法，歐拉方程的解法以及

　　非齊線性方程的比較系數(shù)法和常數(shù)變易法，高階方程的降階。

　　（4）應(yīng)用：會(huì)運(yùn)用這部分內(nèi)容中相關(guān)定理的證明方法和思想解決問(wèn)題。

　　4、考核目標(biāo)

　　理解線性方程解的性質(zhì)及通解的結(jié)構(gòu)，掌握常系數(shù)線性方程的解法以及特殊高階方程的降階，并會(huì)用有關(guān)定理的證明方法和數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

　　（五）線性微分方程組

　　1、課程內(nèi)容

　　（1）存在唯一性定理

　　（2）線性微分方程組的一般理論

　　（3）常系數(shù)線性微分方程組

　　2、課程難點(diǎn)

　　基解矩陣的求法

　　3、考核要求

　　（1）識(shí)記并理解：方程組的向量形式的記法、方程組的解的存在唯一性定理，方程組一般理論，伏朗斯基行列式，基解矩陣以及矩陣指數(shù)的定義。

　　（2）掌握：線性方程組與高階線性方程的關(guān)系，常系數(shù)線性方程組基解矩陣和標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣的求法，非齊線性方程組的常數(shù)變易法。

　　4、考核目標(biāo)

　　理解任何一個(gè)高階線性方程的問(wèn)題都可以化成一個(gè)線性方程組去解決，掌握常系數(shù)方程組基解矩陣的求法，并從中體會(huì)本課程與高等代數(shù)間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)其解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法。

　　三、有關(guān)說(shuō)明和實(shí)施要求

　　（一）《常微分方程》從下面幾個(gè)層面上對(duì)考生進(jìn)行考核

　　1、基本要求為“識(shí)記”、“了解”是對(duì)概念、理論的要求。

　　2、較高要求為“理解”、“掌握”是對(duì)方法和運(yùn)算能力的要求。

　　3、更高要求為“應(yīng)用”是對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用的要求。

　　（二）考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

　　考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為100分，考試時(shí)間為150分鐘。

　　試卷包括選擇題、填空題、判斷題、解答題、應(yīng)用題和證明題。選擇題是四選一的單向選擇，填空題只要求填寫(xiě)結(jié)果，判斷題直接給出“對(duì)”或“錯(cuò)”，不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程或推證過(guò)程；解答題、應(yīng)用題和證明題均應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程。

　　選擇題、填空題、判斷題分值合計(jì)為28分，解答題、應(yīng)用題、證明題分值合計(jì)為72分。

　　（三）、自學(xué)方法指導(dǎo)：本課程概念較少，但計(jì)算與理論都占有很重要的地位。這就要求自學(xué)者要通過(guò)大量的例題、習(xí)題學(xué)會(huì)各種計(jì)算的方法和技巧以及基本理論的有關(guān)內(nèi)容，主要是通過(guò)正確的判斷方程的類(lèi)型并會(huì)用相應(yīng)的方法求解方程，掌握存在唯一性定理以及線性方程（組）的解的結(jié)構(gòu)定理和解的性質(zhì)等定理的內(nèi)容以及證明的思想方法。

　　（四）對(duì)助學(xué)的要求： 第一、社會(huì)助學(xué)者應(yīng)根據(jù)大綱規(guī)定的考試內(nèi)容和考核目標(biāo)，認(rèn)真鉆研指定教材，明確本課程與其它課程的聯(lián)系與不同，對(duì)自學(xué)應(yīng)考者進(jìn)行切實(shí)有效的輔導(dǎo)，引導(dǎo)他們防止自學(xué)中的各種偏向，把握社會(huì)助學(xué)的正確方向；第二、要正確處理基本知識(shí)和應(yīng)用能力的關(guān)系，努力引導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者將識(shí)記、理解、掌握、會(huì)應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)，把基本知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題的能力， 在輔導(dǎo)的基礎(chǔ)上，幫助自學(xué)應(yīng)考者建立用系統(tǒng)的觀點(diǎn)進(jìn)行分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；第三、要正確處理重點(diǎn)和一般的關(guān)系。課程內(nèi)容有重點(diǎn)和一般之分，但考試內(nèi)容是全面的，而且重點(diǎn)與一般是相互影響的，不是截然分開(kāi)的。社會(huì)助學(xué)者應(yīng)指導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者全面系統(tǒng)地學(xué)習(xí)教材內(nèi)容，掌握全部考試內(nèi)容和考核知識(shí)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上再突出重點(diǎn)。總之，要把重點(diǎn)學(xué)習(xí)同兼顧一般結(jié)合起來(lái)，切勿孤立地抓重點(diǎn)，把自學(xué)應(yīng)考者引向猜題、模擬題。

河北省《常微分方程》課程自學(xué)考試模擬試卷

　　一、單項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題2分，共8分。在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，選出一個(gè)正確的答案，并將所選項(xiàng)前的字母填寫(xiě)在答題紙的相應(yīng)位置上，填寫(xiě)在其它位置上無(wú)效）

　　1、二階方程 的初始條件是指（  ）

　　A.         B.

　　C.         D.

　　2、若 ，下列哪個(gè)一定是方程 的解（  ）

　　A.                   B.

　　C.               D.

　　3、方程 通過(guò)變換（  ）可化為齊次方程。

　　A、              B、

　　C、              D、

　　4、已知 是常系數(shù)齊線性方程組的基解矩陣，則expAt可以表示為（    ）

　　A.     B.     C.     D.

　　二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）

　　1、 方程 為_(kāi)_______方程，它經(jīng)過(guò)變換______可以化為線性方程。

　　2、 = 有只與 有關(guān)的積分因子的充要條件是_________

　　3、向量 ， 的伏朗斯基行列式的值為_(kāi)______________

　　4、與 等價(jià)的方程組為_(kāi)_______________________________

　　三、判斷題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）

　　1、 是方程 過(guò)點(diǎn)（0，1）的積分曲線（  ）

　　2、微分方程的通解包含它的全部解          （  ）

　　3、設(shè) 0是二階齊線性方程 的解，則經(jīng)變換 方程可降為一階齊線性方程。                       （  ）

　　4、 每一個(gè)一階線性微分方程組都可化為一個(gè)線性微分方程。 （  ）

　　四、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題8分共40分）

　　1、  求方程 的通解

　　2、  求方程 的通解

　　3、  求方程 的通解

　　4、 求初值問(wèn)題 在R： 上的解的存在區(qū)間及第一、二次近似解。

　　5、求方程 的通解

　　五 應(yīng)用題   （10分）

　　鐳的衰變有如下規(guī)律：鐳的衰變速度與現(xiàn)存量 成正比。有經(jīng)驗(yàn)材料得知，如有鐳20克，則經(jīng)過(guò)1600年后，只剩余10克。

　　（1）試求鐳的量 與時(shí)間 的關(guān)系式。

　　（2）求3200年后，鐳剩余多少。

　　六、證明題（10分）

　　設(shè) 是方程 的兩個(gè)非零解，且滿足條件 ，證明： 和 是線性相關(guān)的。

　　七、解方程組（12分）

　　已知方程組 ，其中 ，求 .

河北省《常微分方程》課程自學(xué)考試模擬試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

　　一、 單項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題2分，共8分。選對(duì)得2分，選錯(cuò)、未選或多選得0分）

　　1. D.  2  A   3  B    4  B

　　二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）

　　1伯努利，

　　2.

　　3……

　　4

　　三、判斷題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）

　　1 √ 2 ×    3.√   4.×

　　四、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題8分共40分）

　　1、

　　解、方程即為  ——2分

　　兩邊積分得  ……………。6分

　　故方程通解為  ——8分

　　2.

　　解、對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為  ——3分

　　令 代入方程得

　　故 ……………………………………。6分

　　因此原方程的通解為  ——8分

　　3 、

　　解：方程即為

　　令 ，則 ——2分

　　兩邊 對(duì)求導(dǎo)得

　　即

　　由 得 ，故有解  ……………………6分

　　由 得 ，故有通解  ——8分

　　4、 求初值問(wèn)題 在R： 上的解的存在區(qū)間及第一、二次近似解。

　　解：   R：

　　5、

　　解 ： 特征方程。 特征根為

　　對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 ——4分

　　3不是特征根

　　原方程的特解形式 代入  原方程得A=0.25

　　原方程的通解 + ——8分

　　五、應(yīng)用題   （10分）

　　解：（1）據(jù)題意得：                            ………………4分

　　解微分方程有

　　由 得  由 得 ……………………

　　故 ——8分

　　（2） ——10分

　　六、證明題（10分）

　　證明 ： 伏郎斯基行列式在 的值

　　=0，——6分

　　所以方程 的兩個(gè)非零解 和 是線性相關(guān)——10分

　　七、解方程組（12分）

　　已知方程組 ，其中 ，求 .

　　解：特征方程為 ，即

　　特征根為 ， ——4分

　　對(duì)應(yīng)的特征向量

　　對(duì)應(yīng)的特征向量 ——6分

　　兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為

　　基解矩陣為 ——10分

　　則

　　= ——12分

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