拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)（2008）自學(xué)考試大綱

　　一、課程性質(zhì)與學(xué)習(xí)目的

　　拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，它主要研究拓?fù)淇臻g在同胚變換下的不變量或不變性質(zhì)。它在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力都有著十分重大的作用。通過拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)習(xí)，我們能從較高觀點探討《數(shù)學(xué)分析》、《實變函數(shù)》以及《幾何學(xué)》中若干問題的認(rèn)識和理解，為進一步學(xué)習(xí)和研究《拓?fù)鋵W(xué)》及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的其它分支奠定基礎(chǔ)。

　　二、課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

　　（一）集合論初步

　　1、課程內(nèi)容

　　集合的基本概念  集合的基本運算  關(guān)系  等價關(guān)系  映射  集族及其運算  可數(shù)集 不可數(shù)集

　　2、課程難點

　　等價關(guān)系  集族

　　3、考核要求

　　（1）對關(guān)系、等價關(guān)系、映射、集族、笛卡爾積、可數(shù)集、不可數(shù)集等概念要求識記；

　　（2）理解關(guān)系、等價關(guān)系、映射、集族、笛卡爾積、可數(shù)集、不可數(shù)集的有關(guān)性質(zhì)；

　　（3）掌握集合的基本運算，集族的運算及基本公式，并會用這些公式解決問題。

　　4、考核目標(biāo)

　　通過這部分的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠掌握集合論的初步知識，為進一步學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)打下基礎(chǔ)。

　　（二）拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射

　　1、課程內(nèi)容

　　度量空間和連續(xù)映射  拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射  鄰域與鄰域系 導(dǎo)集  閉集  閉包  內(nèi)部邊界  基與子基  拓?fù)淇臻g中的序列

　　2、課程難點

　　基、子基的性質(zhì)；

　　3、考核要求

　　（1） 對度量空間、拓?fù)淇臻g、開集、鄰域、映射在一點連續(xù)、連續(xù)映射、度量誘導(dǎo)的拓?fù)洹⒖啥攘炕臻g、同胚、拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)、鄰域系、聚點、孤立點、閉集、閉包、內(nèi)點、內(nèi)部、邊界點、邊界、基、子基、鄰域基、鄰域子基、序列、序列的極限點、收斂、子序列等概念要求識記。

　　（2） 理解拓?fù)淇臻g的定義及有關(guān)拓?fù)淇臻g的概念，拓?fù)淇臻g連續(xù)映射的定義，連續(xù)映射的一些等價定義；

　　（3） 掌握拓?fù)淇臻g、開集、鄰域、映射在一點連續(xù)、連續(xù)映射、同胚、拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)、鄰域系、聚點、孤立點、閉集、閉包、內(nèi)點、內(nèi)部、邊界點、邊界、基、子基、鄰域基、鄰域子基、序列、序列的極限點的性質(zhì)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)解決問題。掌握拓?fù)淇臻g的驗證方法，及一些比較特殊的拓?fù)淇臻g（離散拓?fù)淇臻g，平庸拓?fù)淇臻g，可數(shù)補空間，有限補空間等）。

　　4、考核目標(biāo)

　　使學(xué)生掌握拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)知識，為進一步學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)打下基礎(chǔ)。

　　（三）子空間，（有限）積空間，商空間

　　1、課程內(nèi)容

　　子空間  （有限）積空間  商空間

　　2、課程難點

　　商空間的概念及性質(zhì)

　　3、考核要求

　　（1）對子空間拓?fù)洌邢薹e拓?fù)洌掏負(fù)洹⑶度搿⒎e空間、投射、商映射、商空間、開（閉）映射的定義要求識記；

　　（2）理解子空間拓?fù)洌邢薹e拓?fù)洌掏負(fù)渑c原拓?fù)淇臻g拓?fù)涞年P(guān)系；

　　（3）掌握子空間拓?fù)洌邢薹e拓?fù)洌掏負(fù)淇臻g中的開集的特點與性質(zhì)；

　　（4）會應(yīng)用子空間、有限積空間、商空間的性質(zhì)。

　　4、考核目標(biāo)

　　使學(xué)生掌握拓?fù)淇臻g與其子空間、拓?fù)淇臻g與其商空間以及拓?fù)浞e空間的性質(zhì)，并對這些性質(zhì)有比較深入的理解。

　　（四）連通空間

　　1、課程內(nèi)容

　　連通性的應(yīng)用  連通分支  局部連通空間  道路連通空間  道路連通分支

　　2、課程難點

　　連通分支、道路連通分支的概念及性質(zhì)

　　3、考核要求

　　（1）對連通空間、道路連通空間、局部連通空間、（有限）可積性質(zhì)、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間等概念要求識記；

　　（2）理解連通子集，連續(xù)映射保持不變的性質(zhì)；

　　（3）掌握連通空間、道路連通空間、局部連通空間、（有限）可積性質(zhì)、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的性質(zhì)，掌握連通空間、道路連通空間、局部連通空間判定方法；

　　（4）會應(yīng)用連通空間、道路連通空間、局部連通空間、（有限）可積性質(zhì)、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的性質(zhì)。

　　4、考核目標(biāo)

　　使學(xué)生掌握連通空間的性質(zhì)，及連通空間的一些應(yīng)用。

　　（五）可數(shù)性公理

　　1、課程內(nèi)容

　　第一可數(shù)性公理  第二可數(shù)性公理  可分空間  Lindel？ff空間

　　2、課程難點

　　Lindel？ff空間的定義和性質(zhì)

　　3、考核要求

　　（1） 對可數(shù)性公理、可分空間、Lindel？ff空間等概念要求識記；

　　（2）理解A2空間和A1空間的關(guān)系，可數(shù)性公理的可遺傳性質(zhì)及有限可積性質(zhì)；

　　（3） 掌握可數(shù)性公理、可分空間、Lindel？ff空間的性質(zhì)；

　　（4）會應(yīng)用可數(shù)性公理、可分空間、Lindel？ff空間的性質(zhì)。

　　4、考核目標(biāo)

　　使學(xué)生掌握可數(shù)性公理、可分空間、Lindel？ff空間的性質(zhì)，為進一步學(xué)習(xí)分離性公理打下基礎(chǔ)。

　　（六）分離性公理

　　1、課程內(nèi)容

　　T0、T1、Hausdorff空間  正則空間  正規(guī)空間  T3、T4空間  Urysohn引理 Tietze擴張定理  完全正則空間  Tychonoff空間  分離性公理與子空間   （有限）積空間和商空間  可度量化空間

　　2、課程難點

　　Urysohn引理和Tietze擴張定理

　　3、考核要求

　　（1）對T0、T1、T2、T3、T3.5、T4、正則、正規(guī)、完全正則空間、Tychonoff空間等概念要求識記解；

　　（2）理解Urysohn引理，Tietze擴張定理、Urysohn嵌入定理的內(nèi)容及證明方法；

　　（3）掌握T0、T1、正則、正規(guī)、完全正則、Tychonoff空間的性質(zhì)；

　　（4）會應(yīng)用T0、T1、正則、正規(guī)、完全正則、Tychonoff空間的性質(zhì)。

　　4、考核目標(biāo)

　　使學(xué)生掌握分離性公理的性質(zhì)，并且為進一步學(xué)習(xí)分離性與緊致性的關(guān)系打下基礎(chǔ)。

　　（七）緊致性

　　1、課程內(nèi)容

　　緊致空間 緊致性與分離性公理  幾種緊致性以及其間關(guān)系  度量空間中的緊致性  局部緊致空間  仿緊空間

　　2、課程難點

　　幾種緊致性 度量空間的緊致性 仿緊空間的性質(zhì)

　　3、考核要求

　　（1）對緊致、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致、局部緊致空間、仿緊空間等概念要求識記；

　　（2）理解緊致、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致的性質(zhì)及其相互關(guān)系；拓?fù)淇臻g加一點緊化；

　　（3）掌握緊致、緊致子集、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致的性質(zhì)， 緊致空間、緊致子集、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致空間的判別方法，緊致性和分離性公理的關(guān)系；

　　（4）會應(yīng)用緊致、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致的性質(zhì)。

　　4、考核目標(biāo)

　　使學(xué)生掌握有關(guān)緊致、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致拓?fù)淇臻g的概念及性質(zhì)，為進一步學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)打下基礎(chǔ)。

　　三、有關(guān)說明和實施要求

　　本門課程考核要求由低到高共分為“識記”、“理解”、“掌握”、“會應(yīng)用”四個層次。其含義：識記，指學(xué)生對所學(xué)概念、定理能夠完整表述，對定理的使用范圍清楚等；理解，指學(xué)生對所學(xué)知識有較深入的認(rèn)識，并能在有關(guān)問題中認(rèn)識或再現(xiàn)它們；掌握，指學(xué)生能深刻認(rèn)識所學(xué)知識，并在此基礎(chǔ)上能夠正確使用它們；會應(yīng)用，指學(xué)生能準(zhǔn)確熟練地應(yīng)用這些知識要求推理證明及解決相關(guān)問題。

　　1、命題的指導(dǎo)思想：全面考查學(xué)生對本課程的基本原理、基本概念和主要知識點學(xué)習(xí)、理解和掌握的情況。命題的原則是：題目數(shù)量多、份量小，范圍廣，更基本的知識一般要占50%左右，稍微靈活一點的題目要占30%左右，較難的題目要占20%左右。

　　本課程考試時間為150分鐘，滿分為100分。

　　拓?fù)鋵W(xué)是一門相對獨立的學(xué)科，它與其它學(xué)科的聯(lián)系并不是十分緊密，拓?fù)鋵W(xué)的內(nèi)容雖然涉及集合論，數(shù)學(xué)分析等學(xué)科，它的一些概念和方法是度量空間，連續(xù)函數(shù)等概念的推廣，但其研究內(nèi)容和方法已發(fā)生了根本的變化，因此具備了集合論，連續(xù)函數(shù)的基本知識對拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)習(xí)和理解會起到一定的作用，本學(xué)科需要的集合論的基本知識也是學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)的必要的基礎(chǔ)知識，我們放在了第一部分（建議本部分不做考核要求），若熟悉第一部分知識的內(nèi)容可直接進行第二部分的學(xué)習(xí)。

　　2、自學(xué)方法指導(dǎo)：本課程的理論性很強，同時大量的概念給自學(xué)者帶來了一定的困難，這就要求自學(xué)者全面把握基本理論和基本概念，通過大量的例題、習(xí)題，切實掌握拓?fù)鋵W(xué)的基本概念和基本知識，基本方法和技巧。

　　3、對助學(xué)的要求： 第一、社會助學(xué)者應(yīng)根據(jù)大綱規(guī)定的考試內(nèi)容和考核目標(biāo)，認(rèn)真鉆研指定教材，明確本課程與其它課程的不同特點和學(xué)習(xí)要求，對自學(xué)應(yīng)考者進行切實有效的輔導(dǎo)，引導(dǎo)他們防止自學(xué)中的各種偏向，把握社會助學(xué)的正確方向；第二、要正確處理基本知識和應(yīng)用能力的關(guān)系，努力引導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者將識記、理解、掌握、會應(yīng)用聯(lián)系起來，把基本知識轉(zhuǎn)化為解決問題的能力， 在輔導(dǎo)的基礎(chǔ)上，幫助自學(xué)應(yīng)考者建立用系統(tǒng)的觀點進行分析問題和解決問題的能力；第三、要正確處理重點和一般的關(guān)系。課程內(nèi)容有重點和一般之分，但考試內(nèi)容是全面的，而且重點與一般是相互影響的，不是截然分開的。社會助學(xué)者應(yīng)指導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者全面系統(tǒng)地學(xué)習(xí)教材內(nèi)容，掌握全部考試內(nèi)容和考核知識點，在此基礎(chǔ)上再突出重點。總之，要把重點學(xué)習(xí)同兼顧一般結(jié)合起來，切勿孤立地抓重點，把自學(xué)應(yīng)考者引向猜題、模擬題。

　　4、題型事例

　　河北省《拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》課程自學(xué)考試模擬試卷

　　一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

　　1、設(shè) ，下列集族中，（    ）是 上的拓?fù)洹?/p>

　　①   ②

　　③   ④

　　2、已知 ，拓?fù)?，則 =（   ）

　　①φ    ②       ③    ④

　　3、設(shè) 是一個拓?fù)淇臻g，A，B 是 的子集，則下列關(guān)系中錯誤的是（     ）

　　①      ②

　　③      ④

　　4、平庸空間的任一非空真子集為（      ）

　　① 開集   ② 閉集  ③ 即開又閉   ④ 非開非閉

　　5、有理數(shù)集 是實數(shù)空間 的一個（    ）

　　① 不連通子集                ② 連通子集

　　③ 開集           　　　　　 ④ 以上都不對

　　6、設(shè) ， ，則 是（     ）

　　① 空間   ② 空間  ③  空間 ④ 以上都不對

　　二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

　　1、設(shè) ，則 的離散拓?fù)錇?nbsp;                           ；

　　2、設(shè) 是可數(shù)補空間 中的一個不可數(shù)子集，則 =          ；

　　3、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個                                  ；

　　4、若拓?fù)淇臻g 有一個可數(shù)稠密子集，則稱 是一個           ；

　　5、正則的 空間稱為                 ；

　　三、判斷題（本大題共2個小題，每小題4分，共8分；其中判斷1分，說明理由3分）

　　1、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射（      ）

　　2、設(shè)拓?fù)淇臻g 滿足第二可數(shù)性公理，則 滿足第一可數(shù)性公理（  ）

　　四、名詞解釋（本大題共3個小題，每小題3分，共9分）

　　1、   同胚映射

　　2、   正規(guī)空間：

　　3、緊致空間

　　五、簡答題（每題4分，共8分）

　　1、設(shè) 是一個拓?fù)淇臻g， 是 的子集，且 .試說明 .

　　2、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：

　　或者 或者

　　設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集 ，試寫出 的商拓?fù)銽 .

　　六、證明題（本大題共5個小題，其中1，2，3，4，每題5分，第6小題6分，共31分）

　　1、設(shè) 是拓?fù)淇臻g 的一個連通子集， 滿足 ，則 也是 的一個連通子集。

　　2、設(shè)X是一個含有不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間。證明X不滿足第一可數(shù)性公理。

　　3、設(shè) 是一個 空間， ， ，證明：對 的每一個鄰域 有 是無限集。

　　4、設(shè) 是一個拓?fù)淇臻g，證明 是hausdorff空間當(dāng)且僅當(dāng)積空間 的對角線 是一個閉集。

　　5、設(shè) 是一個正則空間， 是 的一個緊致子集， .證明：如果 ，則 也是 的一個緊致子集。

　　河北省《拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》課程自學(xué)考試模擬試卷參考答案與評分細(xì)則

　　一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

　　1、②  2、④    3、③    4、④    5、①   6、①

　　二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

　　1、

　　2、

　　3、在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)

　　4、可分空間

　　5、 空間

　　三、判斷題（本大題共2個小題，每小題4分，共8分；其中判斷1分，說明理由3分）

　　1、答案：√

　　理由：設(shè) 是離散空間， 是拓?fù)淇臻g， 是連續(xù)映射，因為對任意 ，都有 ，由于 中的任何一個子集都是開集，從而 是 中的開集，所以 是連續(xù)的。

　　2、答案：√

　　理由：設(shè)拓?fù)淇臻g 滿足第二可數(shù)性公理， 是它的一個可數(shù)基，對于每一個 ，易知 是點 處的一個鄰域基，它是 的一個子族所以是可數(shù)族，從而 在點 處有可數(shù)鄰域基，故 滿 足第一可數(shù)性公理。

　　四、名詞解釋（本大題共3個小題，每小題3分，共9分）

　　1、設(shè) 和 是兩個拓?fù)淇臻g。如果 是一個一一映射，并且 和  都是連續(xù)映射，則稱 是一個同胚映射或同胚。

　　2、設(shè) 是一個拓?fù)淇臻g，如果 中的任何兩個無交的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱 是正規(guī)空間。

　　3、設(shè) 是一個拓?fù)淇臻g。如果 的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g 是一個緊致空間。

　　五、簡答題（每小題4分，共8分）

　　1、答案：對于任意 ，設(shè) 是 的任何一個鄰域，則有 ，由于 ，從而 ，因此 ，故 .

　　2、答案：

　　六、證明題（本大題共5個小題，其中1、2、3、4每題6分，第5小題7分，共31分）

　　1、證明：若 是 的一個不連通子集，則在 中有非空的隔離子集  使得 .因此   ………………………………… 3分

　　由于 是連通的，所以 或者 ，如果 ，由于 ，所以 ，因此  ，同理可證如果 ，則 ，均與假設(shè)矛盾。故 也 是 的一個連通子集。    …………………………………………………………………… 6分

　　2、證明：若 滿足第一可數(shù)公理，則在 處，有一個可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x ，因為X是可數(shù)補空間，因此對 ， 是 的一個開鄰域，從而  ，使得 .

　　于是 ， …………………………………………………3分

　　由上面的討論我們知道：

　　因為 是一個不可數(shù)集，而 是一個可數(shù)集，矛盾。

　　從而X不滿足第一可數(shù)性公理。 ………………………………6分

　　3、證明：設(shè) ，若 有一個開鄰域 含有 中的有限多個點，設(shè) ，則 是一個有限集，從而 是一個閉集，故 是一個開集且是 的一個開鄰域。 …………………………………3分

　　又易知 ，從而 ，矛盾。故 是無限集。 …………………………………………………………………6分

　　4、證明：充分性：對任意 ，于是 ，由于 是閉集，所以 是開集，從而有 的開鄰域 使得 ，于是 分別是 的開鄰域，且 ，從而 是Hausdorff空間。 ……………………………………………………………3分

　　必要性：若 是hausdorff空間，對 ，則 和 分別有開鄰域 ，使得 ，從而 ，由于 是 中的開集，所以 是其每一點的鄰域，故 是開集，從而 是閉集。 ……………………………………………………………6分

　　5、證明：設(shè)A是任意一個由X中的開集構(gòu)成的Y的覆蓋，因此A也是A的一個覆蓋，由于A是X的緊致子集，從而A有有限個成員 使得 .   …………………………………3分

　　由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個開鄰域 ，使得 ，從而有 ，從而A有有限子覆蓋 ，因此Y是X的一個緊致子集。  ………………7分

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