量子力學（2036）自學考試大綱

　　1、課程性質(zhì)及學習目的

　　《量子力學》課程是物理專業(yè)本科生必修科目，是近代物理學兩大支柱之一，是近代物理學的基礎(chǔ)。該課程是物理專業(yè)更重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)必修課，是物理類專業(yè)研究生招生考試和復試的重要課程。《量子力學》作為物理專業(yè)及其相關(guān)專業(yè)本科生的必修課程，學好該課程，可以順利地進入現(xiàn)代物理學的其他專業(yè)課的學習，也可以與物理及相關(guān)專業(yè)研究生的《高等量子力學》課程相銜接。隨著考研科目的改革，《量子力學》課程在現(xiàn)代科學中的地位更加突出，顯得極為重要。

　　學習該課程的目的和要求如下：

　　（1）通過系統(tǒng)學習量子力學的基本原理，加深對近代物理學的理解與認識；

　　（2）通過學習量子力學，使學生基本掌握和達到國家教委制定的師范院校物理專業(yè)本科生應(yīng)掌握的量子力學知識和運算能力；

　　（3）獲得在本門課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本問題的初步能力；

　　（4）為學習后續(xù)課程和獨力解決實際問題打下必要的基礎(chǔ)。

　　2、課程內(nèi)容及考試目標

　　主要內(nèi)容

　　量子力學主要內(nèi)容包括：量子力學發(fā)展簡況，波函數(shù)，薛定諤方程，力學量和算符，態(tài)和力學量的表象，微擾論，自旋和全同粒子。

　　主要考核目標

　　（1）掌握波粒二象性是一切物質(zhì)客體所具有的普遍屬性。

　　（2）正確理解和熟練掌握描寫微觀粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)的意義及量子力學的基本方程—薛定諤方程的求解。

　　（3）熟練掌握力學量用算符表示后量子力學規(guī)律所取的形式及力學量與算符的關(guān)系。

　　（4）了解表象的物理意義和一些簡單的表象變換。

　　（5）掌握用久期方程求解算符的本征值和本征函數(shù)的方法。

　　（6）正確理解定態(tài)微擾論的方法和使用條件，熟練掌握非簡并情況下體系能級的二級近似值與一級近似波函數(shù)的計算方法，了解與時間有關(guān)的微擾理論。

　　（7）認識微觀粒子的自旋角動量的性質(zhì)，熟記自旋角動量算符與自旋波函數(shù)的表達方式。

　　（8）理解全同粒子的不可區(qū)分性、全同性原理以及波函數(shù)的對稱性與統(tǒng)計法之間的關(guān)系。

　　各章節(jié)具體考核要求如下：

　　第一章  緒論

　　考核要求

　　（一）經(jīng)典物理學的困難

　　1.領(lǐng)會：經(jīng)典物理學對一些涉及微觀領(lǐng)域的實驗結(jié)果是無法解釋的。

　　（二）光的波粒二象性

　　1.識記：（1）Planck的能量子理論。（2）Einstein的光量子理論。（3）Compton效應(yīng)。

　　2.領(lǐng)會：（1）光的波動性和粒子性。（2）Compton效應(yīng)證明了光具有粒子性。

　　3.簡單應(yīng)用：用Planck-Einstein理論解釋黑體輻射和光電效應(yīng)。

　　（三）原子結(jié)構(gòu)的Bohr理論

　　1.識記：Bohr-Sommerfeld量子化條件

　　2.領(lǐng)會：Bohr理論的內(nèi)容

　　3.簡單應(yīng)用：用Bohr-Sommerfeld量子化條件求解簡單體系的能級。

　　（四）微觀粒子的波粒二象性

　　1.識記：De Broglie波的含義和De Broglie波的波長公式。

　　2.領(lǐng)會：（1）微觀實物粒子的波粒二象性。（2）De Broglie關(guān)系式的物理意義。（3）微觀粒子的波動性的實驗驗證。

　　3.簡單應(yīng)用：用De Broglie波長公式計算微觀實物粒子的波長。

　　第二章  波函數(shù)和薛定諤方程

　　考核要求

　　（一）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

　　1.識記：（1）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋。（2）波函數(shù)的歸一化條件。

　　2.領(lǐng)會：微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)描寫。

　　3.簡單應(yīng)用：用歸一化條件把波函數(shù)歸一化。

　　（二）態(tài)迭加原理

　　1.識記：態(tài)迭加原理的內(nèi)容。

　　2.領(lǐng)會：（1）態(tài)迭加原理的意義。（2）量子迭加原理與經(jīng)典迭加原理的區(qū)別。

　　3.簡單應(yīng)用：對于動量連續(xù)取值的情況，會用Fourier變換式求迭加系數(shù)。

　　（三）薛定諤方程

　　1.識記：（1）自由粒子的薛定諤方程。（2）一般力場的薛定諤方程。（3）多粒子體系的薛定諤方程。

　　2.領(lǐng)會：量子力學運動方程建立的條件。

　　（四）粒子流密度矢量和粒子數(shù)守恒定律

　　1.識記：（1）幾率分布的連續(xù)性方程的內(nèi)容及數(shù)學表達式。（2）波函數(shù)的標準條件。（3）幾率流密度矢量的數(shù)學表達式。

　　2.領(lǐng)會：（1）幾率分布的連續(xù)性方程的物理意義。（2）幾率流密度矢量的物理意義。（3）波函數(shù)一般應(yīng)為復數(shù)。

　　3.簡單應(yīng)用：（1）計算幾率流密度矢量。（2）由幾率分布的連續(xù)性方程可以表示出粒子數(shù)守恒定律、質(zhì)量守恒定律和電荷守恒定律。

　　（五）定態(tài)薛定諤方程

　　1.識記：定態(tài)薛定諤方程及定態(tài)波函數(shù)

　　2.領(lǐng)會：（1）定態(tài)的特點。（2）含時間的薛定諤方程的一般解。

　　3.綜合運用：會求解定態(tài)薛定諤方程。

　　（六）一維無限深勢阱

　　1.識記：一維無限深勢阱的能級和波函數(shù)。

　　2.領(lǐng)會：（1）一維無限深勢阱的本征問題的求解方法。（2）一維無限深勢阱本征解的特點及意義。

　　3.綜合運用：會把一維無限深勢阱的結(jié)果運用到二維和三維勢阱體系中。

　　（七）線性諧振子

　　1.識記：（1）量子線性諧振子的含義。（2）線性諧振子體系的能級和波函數(shù)。

　　2.領(lǐng)會：（1）線性諧振子體系的本征問題的求解方法。（2）線性諧振子體系本征解的特點及意義。

　　3.綜合運用：會把線性諧振子體系的結(jié)果運用到二維和三維振子體系中。

　　第三章  量子力學中力學量

　　考核要求

　　（一）表示力學量的算符

　　1.識記：（1）算符的定義。（2）算符厄密性和線性性的含義。（3）動量算符和角動量算符及其本征解。（4）力學量算符的構(gòu)成法則。

　　2.領(lǐng)會：量子力學中用線性厄密算符表示力學量。

　　3.簡單應(yīng)用：會求解力學量算符的本征解。

　　（二）氫原子

　　1.識記：（1）氫原子的能級及其簡并度。（2）氫原子的波函數(shù)及其性質(zhì)。（3）角動量及其角動量的Z分量算符的本征值和本征函數(shù)。

　　2.領(lǐng)會：（1）氫原子體系的哈密頓算符的本征解的求解過程。（2）角動量平方及其角動量的Z分量算符的本征值的簡并度。

　　3.綜合運用：會用氫原子的哈密頓、角動量和角動量Z分量算符的本征解做一些相關(guān)的應(yīng)用題。

　　（三）厄密算符本征函數(shù)的正交性

　　1.識記：二函數(shù)正交的定義。

　　2.領(lǐng)會：厄密算符正交歸一性的含義。

　　3.簡單應(yīng)用：（1）會證明厄密算符正交歸一性。（2）正交函數(shù)系的例子。

　　（四）算符與力學量的關(guān)系

　　1.識記：（1）力學量與力學量算符關(guān)系的基本假定。（2）力學量平均值公式。

　　2.領(lǐng)會：厄密算符本征函數(shù)的完備性。

　　3.綜合運用：求力學量的可能值和出現(xiàn)的幾率及其平均值。

　　（五）算符的對易關(guān)系

　　1.識記：（1）量子力學中的基本力學量算符及其對易關(guān)系。（2）力學量算符間對易關(guān)系的運算法則。

　　2.領(lǐng)會：力學量算符對易關(guān)系的意義。

　　3.綜合運用：會計算任何兩個力學量算符的對易關(guān)系。

　　（六）兩個力學量同時具有確定值的條件

　　1.識記：兩個力學量同時具有確定值的條件。

　　2.領(lǐng)會：兩個力學量同時具有確定值的條件的物理含義。

　　3.簡單應(yīng)用：會證明“兩個力學量算符有共同本征函數(shù)系的充分必要條件是這兩個力學量算符相互對易”。

　　（七）不確定關(guān)系

　　1.識記：不確定關(guān)系的數(shù)學表示式。

　　2.領(lǐng)會：不確定關(guān)系的物理意義。

　　3.簡單應(yīng)用：利用不確定關(guān)系估算量子體系的基態(tài)能量。

　　第四章  態(tài)和力學量的表象

　　考核要求

　　（一）態(tài)的表象

　　1.識記：（1）希耳伯特空間的定義。（2）態(tài)的表象的物理含義。

　　2.領(lǐng)會：坐標表象和動量表象的意義。

　　3.簡單應(yīng)用：會推求態(tài)函數(shù)在坐標、動量和能量表象中的表示。

　　（二）算符的矩陣表示

　　1.識記：厄密矩陣的定義。

　　2.領(lǐng)會：力學量算符在自身表象中的表示是對角矩陣。

　　3.簡單應(yīng)用：會推求力學量在坐標、動量和能量表象中的矩陣表示。

　　（三）量子力學公式的矩陣表示

　　1.識記：久期方程的意義。

　　2.領(lǐng)會：平均值公式、本征值方程和薛定諤方程的矩陣表示。

　　3.綜合運用：會利用矩陣方法求解力學量算符的本征解。

　　第五章  微擾理論

　　考核要求

　　（一）非簡并定態(tài)微擾理論

　　1.識記：（1）定態(tài)微擾理論的含義。（2）能級二級近似公式和波函數(shù)的一級近似公式。

　　2.領(lǐng)會：定態(tài)微擾理論的適用條件。

　　3.簡單應(yīng)用：利用非簡并定態(tài)微擾理論求解量子體系的近似解。

　　（二）簡并情況下的微擾理論和氫原子的一級Stark效應(yīng)

　　1.識記：Stark效應(yīng)的含義。

　　2.領(lǐng)會：簡并情況下的微擾理論中的零級近似波函數(shù)的選取。

　　3.簡單應(yīng)用：利用簡并情況下的微擾理論求外電場中氫原子n=2時的近似解。

　　（三）變分法和氦原子基態(tài)

　　1.識記：（1）量子力學中變分法的含義。（2）氦原子體系的哈密頓算符。

　　2.領(lǐng)會：利用變分法求解量子體系基態(tài)能量的過程。

　　3.簡單應(yīng)用：會利用變分法求解量子體系基態(tài)能量。

　　（四）與時間有關(guān)的微擾理論及躍遷幾率

　　1.識記：（1）常微擾和含時微擾的含義。（2）躍遷幾率的計算公式。

　　2.領(lǐng)會：含時微擾及量子躍遷的物理意義。

　　第六章  自旋與全同粒子

　　考核要求

　　（一）電子自旋

　　1.識記：Uhlenbeck-Goudsmit假設(shè)。

　　2.領(lǐng)會：Stern-Gerlach實驗。

　　（二）電子的自旋算符和自旋函數(shù)

　　1.識記：（1）自旋算符的定義。（2）Pauli算符的定義。（3）Pauli算符的矩陣表示。（4）自旋算符及其各分量算符的本征值。

　　2.領(lǐng)會：（1）自旋算符各分量之間的對易關(guān)系及其性質(zhì)。（2）自旋波函數(shù)的物理意義。（3）完全波函數(shù)的物理意義。

　　3.綜合運用：（1）會推導自旋算符和自旋波函數(shù)的矩陣表示。（2）對自旋和坐標求平均的平均值公式。

　　（三）兩個角動量的耦合和光譜的精細結(jié)構(gòu)

　　1.識記：（1）角動量算符的定義。（2）兩個角動量算符耦合的定義。（3）光譜精細結(jié)構(gòu)的含義。

　　2.領(lǐng)會：（1）耦合表象和無耦合表象和它們之間的變換關(guān)系。（2）如何利用角動量耦合理論計算光譜的精細結(jié)構(gòu)。

　　（四）全同粒子及其特性、全同粒子體系的波函數(shù)和Pauli原理

　　1.識記：（1）全同粒子的定義。（2）費米子和玻色子。（3）全同性原理。（4）Pauli原理。

　　2.領(lǐng)會：（1）全同粒子的特性。（2）全同性原理的物理意義。（3）全同粒子體系的波函數(shù)對稱化的物理含義。

　　3.綜合運用：在單體近似下，根據(jù)全同性原理能對稱化體系的波函數(shù)。

　　（五）兩個電子的自旋波函數(shù)

　　1.識記：兩個電子自旋波函數(shù)在耦合表象和無耦合表象的表示。

　　2.領(lǐng)會：（1）兩個電子自旋波函數(shù)的耦合表象和無耦合表象之間的變換關(guān)系。（2）三個對稱態(tài)和一個反對稱態(tài)的物理意義。

　　3.綜合運用：會推求耦合表象中兩個電子自旋算符的本征值和本征矢。

　　3、有關(guān)說明和實施要求

　　（1）使用本大綱的說明

　　本大綱所列考核內(nèi)容是經(jīng)過精心篩選后確定的，教材上過于繁雜、與后續(xù)課程關(guān)系不大或?qū)ΜF(xiàn)代科技發(fā)展及物理學發(fā)展沒有直接關(guān)系的內(nèi)容沒有列入。

　　學生在自學或教師在助學量子力學時應(yīng)著重于量子力學的基本概念、掌握常用的基本方法求解或計算一些具體的簡單問題（例如求解一些簡單的本征問題，像一維無限深勢阱問題、線性諧振子本征問題和角動量z分量的本征解問題等；用基本對易關(guān)系和公式計算力學量算符之間的對易關(guān)系；利用五個基本假設(shè)解決一些簡單問題，像力學量可測值和出現(xiàn)的相應(yīng)幾率等；會用非簡并微擾理論計算簡單體系的能量近似值等），能夠?qū)σ恍┤菀谆煜母拍钭龀稣_的判斷且加以說明，會利用一些基本定律和定理等證明一些重要結(jié)論（例如利用厄密算符的定義證明其本征值為實數(shù)、證明厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交、證明一些力學量算符的基本對易關(guān)系等）。

　　在教師出題過程中應(yīng)當重在考察學生對量子力學基本概念和重要的基本知識的理解、利用基本方法解決一些簡單問題的能力。

　　（2）考試形式主要有：閉卷、半開卷、開卷考試三種形式。

　　（3） 考試時間

　　閉卷考試：試題一般為：單項選擇、填空、判斷、名詞解釋、證明、計算等，題量在20—35小題，考試時間2小時；

　　半開卷考試：試題一般選擇證明、計算等題型，題量在5-8題，考試時間2小時；

　　開卷考試：試題一般側(cè)重于綜合試題，重在考查學生獨立解決問題的能力和創(chuàng)新的能力，要求學生在3-5天內(nèi)完成。

　　（4）學習本課程應(yīng)具備的知識

　　在學習本課程之前學生應(yīng)當修讀過數(shù)學分析、線性代數(shù)、矢量場論、數(shù)學物理方法、力學、電磁學、光學、理論力學、原子物理學等課程。

　　（5） 附本課程考試題型：

　　一、單項選擇題（請選出更佳答案，每小題1分）

　　1. 能量為100ev的自由電子的De Broglie 波長是

　　A. 1.2 .  B. 1.5 .  C. 2.1 .  D. 2.5 .                        （A）

　　2. 能量為0.1ev的自由中子的De Broglie 波長是

　　A.1.3 .   B. 0.9 .  C. 0.5 .  D. 1.8 .                        （B）

　　3. 用Bohr-Sommerfeld的量子化條件得到的一維諧振子的能量為

　　A. ， .       B. ， .

　　C. ， .   D. ， .        （A）

　　二、填空題  （每題1分）

　　1.Compton效應(yīng)證實了                        .   （光具有粒子性）

　　2.Bohr提出軌道量子化條件的數(shù)學表達式是     . （ ）

　　3.Sommerfeld提出的廣義量子化條件是          . （ ）

　　三、判斷題（每題3分）

　　（評分標準：判斷正確給1分，敘述理由正確給2分）

　　1、量子力學是18世紀20年代誕生的科學。 （錯，應(yīng)為19世紀）

　　2、量子力學的建立始于人們對光的波、粒二象性的認識。

　　（不對，應(yīng)始于De Broglie的微觀粒子的波粒二象性）

　　3、能量子的概念由愛因斯坦提出。（錯，應(yīng)是普朗克）

　　四 名詞解釋

　　1.量子現(xiàn)象

　　凡是Planck常數(shù)h在其中起重要作用的現(xiàn)象都可以稱為量子現(xiàn)象。（3分）

　　2.德布羅意公式

　　E=h =    （1分）， .（2分）

　　3.光子

　　Einstein 認為電磁輻射不僅在被吸收和發(fā)射時以能量為 的微粒出現(xiàn)，而且以這種形式以速度c在空間運動，這種粒子叫做光量子或光子。（3分）

　　五  證明題 （每題8分）

　　1.證明厄密算符的本征值為實數(shù)。

　　證明：若 ， 為厄米算符，則證明 為實數(shù)。由厄米算符定義，令 ，

　　，                                （1）

　　左= ，

　　右＝ ，                           （2）

　　，

　　，                                      （3）

　　，    為實數(shù)。                              （4）

　　評分說明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。

　　2.證明對于非簡并情況，厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交。

　　證明：設(shè)厄米算符 有一個非簡并的函數(shù)系，取其中的任意的兩個： 和 ， 有

　　， ，                            （1）

　　按厄米算符定義，有 ，

　　而上式的左端 ，右 ，

　　所以 ， ，                        （2）

　　故 .                                           （3）

　　這就是厄米算符本征函數(shù)的正交性的數(shù)學表達。

　　如果 ， 則  ，若 ，則 ，

　　即 .                                         （4）

　　這就是厄米算符本征函數(shù)的正交、歸一性。

　　評分說明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。

　　六 計算題  （每題8分）

　　1.一粒子由 描寫，計算其幾率流密度，并說明其物理意義。

　　解：在球坐標中，梯度坐標為

　　。                       （1）

　　只是 的函數(shù)，與 ， 無關(guān)，所以

　　， ， （2）

　　幾率流密度 ，            （3）

　　所以  .                （4）

　　所得結(jié)果說明 表示向外傳播的球面波。                    （5）

　　評分說明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

　　2.一粒子由 描寫，計算其幾率流密度，并說明其物理意義。

　　解：在球坐標中，梯度坐標為

　　。                      （1）

　　只是 的函數(shù)，與 ， 無關(guān)，所以

　　， ，    （2）

　　幾率流密度 ，           （3）

　　所以  .            （4）

　　所得結(jié)果說明 表示向內(nèi)（即向原點）傳播的球面波。       （5）

　　評分說明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

　　4.      求在一維勢場 中運動的粒子的能級和本征函數(shù)。

　　解：粒子被限制在 區(qū)間運動，除 和 兩點及其以外，粒子在 內(nèi)卻是自由的，故狀態(tài)可以看作兩個動量為 和 的平面波的疊加，即

　　，

　　由 得  ， 即 .

　　所以  ，            （1）

　　由  得     ，

　　即要求   ，                         （2）

　　所以    ，   （  ）不給出新的解。 （3）

　　。  為歸一化常數(shù)，  .                 （4）

　　評分說明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。（用其它解法可酌情給分）

河北省教育考試院